逆矩阵(Inverse matrices)
逆矩阵的含义：将一个向量根据矩阵A进行变换，再根据A的逆矩阵进行变换，等于没有进行变换。则可得：
\[A^{-1}A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\]考虑解方程组的问题，将其视为已知矩阵与未知向量的乘法运算，得到已知解：
\[\begin{aligned} ax + by &= c \\ dx + ey &= f \\ \end{aligned} \rightarrow \begin{bmatrix} a & b \\ d & e \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ f \\ \end{bmatrix}\]简化表达：
\[A = \begin{bmatrix} a & b \\ d & e \\ \end{bmatrix} \qquad \vec{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \qquad \vec{v} = \begin{bmatrix} c \\ f \\ \end{bmatrix}\]从几何的角度看，求解\(A \vec{x} = \vec{v}\)，即求解怎么样的向量\(\vec{x}\)可以经过矩阵A变换为向量\(\vec{v}\)。
此时可以通过\(A\)的逆矩阵\(A^{-1}\)将向量\(\vec{v}\)变换为原向量\(\vec{x}\)，即得到方程组的解:
\[A^{-1} A \vec{x} = A^{-1} \vec{v} \qquad \rightarrow \qquad \vec{x} = A^{-1} \vec{v}\]秩(Rank)
当\(det(A) \neq 0\)时，空间未被压缩，\(A\)存在逆矩阵\(A^{-1}\)，方程可用上面的方法求解；但当\(det(A) = 0\)时，则说明空间被压缩到更低的维度，\(A^{-1}\)不存在(但解依然可能存在)。
“秩”代表变换后空间的维数，如果变化后空间的维数是n，那么称这个变化的秩为n。
列空间(Column space)
\(A\)的“列空间”：所有可能的输出向量\(A\vec{v}\)构成的集合，矩阵\(A\)的列告诉你基向量变换后的位置，这些列张成的空间就是“列空间”，跟精确的秩的定义就是列空间的维数。
零空间(Null space)
因为线性变换必须保持原点位置不变，所以零向量一定在列空间中。当一个矩阵\(A\)代表的变换是存高维到低维时，会有一条线、一个面、体等压缩到原点，此时这些经变换后会被压缩为零向量的向量的集合称为\(A\)的零空间，它给出了以下方程的所有解：
\[A\vec{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\]