行列式

The determinant of a transformation

在$\hat{i}$与$\hat{j}$未进行变换前，考虑于这两个向量围成的正方形面积：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = 1 \times 1 - 0 \times 0 = 1$$

这个面积的表示恰好符合行列式的计算，如果$\hat{i}$与$\hat{j}$进行变换后为：

$$\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{bmatrix}$$

那么它的行列式值表示基本空间进变换后的缩放值，可以用以基向量为边的正方形的变换来看待:

$$1 = det \left( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \right) \rightarrow det \left( \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{bmatrix} \right) = ad - bc$$

可以得到结论$det(M_1M_2) = det(M_1)det(M_2)$，即两次复合变换后形状的缩放比例等同于分别进行两次缩放的缩放比例的乘积。