如果将一个向量进行一次变换之后，在进行另一个变换，这两个变换的组合称为复合变换。
对一个矩阵先进行旋转，再进行剪切，使用3个\(2 \times 2\)的矩阵，用它们的列向量分别表示每次变换后的基\(\hat{i}\)和\(\hat{j}\)，这3个矩阵分别称为剪切矩阵、旋转矩阵和复合矩阵。
\[\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}\]每个矩阵表示变换后的基向量，复合矩阵应该为前两次变换的结果，这时矩阵的乘应从右向左读，因为先进行旋转，后进行剪切。
\[\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\]两个矩阵相乘的几何意义，就是两个线性变换的相继作用
可以把矩阵相乘的视为基向量的复合变换，考虑下式：
\[\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & g \\ f & h \\ \end{bmatrix}\]它相当于现已将基向量变换为右矩阵的列向量，即：
\[\hat{i} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} e \\ f \\ \end{bmatrix} \qquad \hat{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} g \\ h \\ \end{bmatrix}\]而后通过矩阵
\[\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{bmatrix}\]再一次变换变换后的基向量，以对变换后的\(\hat{i}\)为例:
\[\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e \\ f \\ \end{bmatrix} = e \times \begin{bmatrix} a \\ b \\ \end{bmatrix} + f \times \begin{bmatrix} c \\ d \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae + cf \\ be + df \\ \end{bmatrix}\]的到的结果向量为复合向量的\(\hat{i}\)，\(\hat{j}\)同理。
所以矩阵的乘法为：
\[\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & g \\ f & h \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae+cf & ag+ch \\ be+df & bg+dh \\ \end{bmatrix}\]即两个矩阵相乘，可以视为基向量依次通过两个矩阵进行变换(从右向左)，得到的结果矩阵的列向量为变换后的基向量。
从向量复合变换的角度可以清楚的得到很多启示，比如考虑矩阵乘法的结合律与交换律：
- 结合律： \(A(BC) = (AB)C\)，因为从变换次序来看，它们是相同的，即C、B、A(从右向左看)
- 交换律： \(AB \neq BA\)，变换顺序不等