矩阵乘法与线性复合变换

如果将一个向量进行一次变换之后，在进行另一个变换，这两个变换的组合称为复合变换。

对一个矩阵先进行旋转，再进行剪切，使用3个$2 \times 2$的矩阵，用它们的列向量分别表示每次变换后的基$\hat{i}$和$\hat{j}$，这3个矩阵分别称为剪切矩阵、旋转矩阵和复合矩阵。

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}$$

每个矩阵表示变换后的基向量，复合矩阵应该为前两次变换的结果，这时矩阵的乘应从右向左读，因为先进行旋转，后进行剪切。

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

两个矩阵相乘的几何意义，就是两个线性变换的相继作用

可以把矩阵相乘的视为基向量的复合变换，考虑下式：

$$\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & g \\ f & h \\ \end{bmatrix}$$

它相当于现已将基向量变换为右矩阵的列向量，即：

$$\hat{i} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} e \\ f \\ \end{bmatrix} \qquad \hat{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} g \\ h \\ \end{bmatrix}$$

而后通过矩阵

$$\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{bmatrix}$$

再一次变换变换后的基向量，以对变换后的$\hat{i}$为例:

$$\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e \\ f \\ \end{bmatrix} = e \times \begin{bmatrix} a \\ b \\ \end{bmatrix} + f \times \begin{bmatrix} c \\ d \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae + cf \\ be + df \\ \end{bmatrix}$$

的到的结果向量为复合向量的$\hat{i}$，$\hat{j}$同理。

所以矩阵的乘法为：

$$\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & g \\ f & h \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae+cf & ag+ch \\ be+df & bg+dh \\ \end{bmatrix}$$

即两个矩阵相乘，可以视为基向量依次通过两个矩阵进行变换(从右向左)，得到的结果矩阵的列向量为变换后的基向量。

从向量复合变换的角度可以清楚的得到很多启示，比如考虑矩阵乘法的结合律与交换律：

1. 结合律： $A(BC) = (AB)C$，因为从变换次序来看，它们是相同的，即C、B、A(从右向左看)
2. 交换律： $AB \neq BA$，变换顺序不等