Linear transformation: 接受一个向量作为输入，输出另一个向量(理解为输入向量移动到输出向量的位置)
如果一个变换有以下两个性质，则可以视为线性变换：
- Lines remain lines(直线依旧是直线)
- Origin remain fixed(原点保持固定)
如何用数值描述线性变换？
\[\begin{bmatrix} x_{in} \\ y_{in} \\ \end{bmatrix} \rightarrow L() \rightarrow \begin{bmatrix} x_{out} \\ y_{out} \\ \end{bmatrix}\]由线性变换的性质可知，如果原向量\(\vec{v} = a \times \hat{i} + b \times \hat{j}\)，则变换之后\((Transformed \, \vec{v}) = a \times (Transformed \, \hat{i}) + b \times (Transformed \, \hat{j})\)，也就是说，如果有
\[\hat{i} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix}\] \[\hat{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\]则原来的向量会变换为
\[\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \rightarrow x \times \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix} + y \times \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1x + 3y \\ -2x + 0y \\ \end{bmatrix}\]即任一向量的线性变换可以仅由变换后的\(\hat{i}\)和\(\hat{j}\)(即\((Transformed \, \hat{i})\)和\((Transformed \, \hat{j})\))确定，将变换后的\((Transformed \, \hat{i})\)和\((Transformed \, \hat{j})\)的坐标包装在一个矩阵中，则上式即为原向量与此矩阵的乘法。
\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = x \times \begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix} + y \times \begin{bmatrix} b \\ d \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \\ \end{bmatrix}\]把矩阵的列向量看作变换后的基向量，把矩阵向量乘法看作它们的线性组合。
从这个角度出发，如果想将向量逆时针移动\(90^o\)，先移动\(\hat{i}\)和\(\hat{j}\)，之后将原向量与之相乘。
\[\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}\]如果想剪切向量，\(\hat{i}\)不变，\(\hat{j}\)改变，例如
\[\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}\]线性的严格定义如下：
若从一个变换L满足以下两条性质
\[\begin{cases} L(\vec{v} + \vec{w}) = L(\vec{v}) + L(\vec{w}) & (1) “可加性” \\ L(c\vec{v}) = cL(\vec{v}) & (2) “成比例” (一阶齐次)\\ \end{cases}\]则称L是线性的。